Question

三棱柱ABC－A1B1C1在如圖所示的空間直角坐標系中，已知AB＝2，AC＝4，A1A＝3.D是BC的中點．

(1)求直線DB1與平面A1C1D所成角的正弦值；

(2)求二面角B1-A1D-C1的正弦值．

 

Answer 1

（1）（2）

【解析】(1)由題意，A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(0，4，0)，D(1，2，0)，A1(0，0，3)，B1(2，0，3)，C1(0，4，3).＝(1，2，－3)，＝(0，4，0).

設平面A1C1D的一個法向量為n＝(x，y，z)．

∵n·＝x＋2y－3z＝0，n·＝4y＝0.

∴x＝3z，y＝0.令z＝1，得x＝3.n＝(3，0，1)．

設直線DB1與平面A1C1D所成角為θ，

∵＝(1，－2，3)，

∴sinθ＝|cos〈·n〉|＝＝.

(2)設平面A1B1D的一個法向量為m＝(a，b，c)．

＝(2，0，0)，∵m·＝a＋2b－3c＝0，m·＝2a＝0，

∴a＝0，2b＝3c.令c＝2，得b＝3.m＝(0，3，2)．

設二面角B1A1DC1的大小為α，

∴|cosα|＝cos|〈m，n〉|＝，則sinα＝＝.

∴二面角B1A1DC1的正弦值為.