Question

（2013•河池模擬）已知函數f（x）滿足下面關系：（1）f(x+

π

2

)=f(x-

π

2

)（2）當x∈（0，π]時 f（x）=-cosx
給出下列四個命題：
①函數f（x）為周期函數      
②函數f（x）為奇函數
③函數f（x）的圖象關于y軸對稱  
④方程f（x）=lg|x|的解的個數是8
其中正確命題的序號是：

①④

（把正確命題的序號都填上）

Answer 1

分析：利用已知條件可得函數f（x）是正確為π的函數，先畫出當x∈（0，π]時 f（x）=-cosx的圖象，進而據周期再畫出定義域內的圖象；根據偶函數的性質可畫出函數f（x）=lg|x|，即可得出答案．

解答：解：由f(x+

π

2

)=f(x-

π

2

)可知：f（x+π）=f（x），即函數f（x）是周期為π的周期函數，
再根據條件：當x∈（0，π]時 f（x）=-cosx，畫出圖象：
∵f（0）=f（π）=1≠0，∴函數f（x）不是奇函數；
根據圖象可知：函數f（x）的圖象關于y軸不對稱；
方程f（x）=lg|x|的解的個數是8．
綜上可知：只有①④正確．
故答案為①④．

點評：本題綜合考查了函數的周期性、單調性及函數的交點，利用數形結合并據已知條件正確畫出圖象是解題的關鍵．