Question

（2013•河池模擬）已知數列{a_n}滿足a₁=1，a₂=3，a_n+2=3a_n+1-2a_n（n∈N⁺）
（1）證明：數列{a_n+1-a_n }是等比數列；
（2）求數列{a_n}的通項公式．

Answer 1

分析：（1）將已知的遞推關系變形，利用等比數列的定義，證得數列{a_n+1-a_n}成等比數列．
（2）利用等比數列的通項公式求出a_n+1-a_n=2ⁿ，然后根據a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁求出數列{a_n}的通項公式．

解答：解：（1）證明：∵a_n+2=3a_n+1-2a_n
∴a_n+2-a_n+1=2（a_n+1-a_n）
又a₁=1，a₂=3
即

an+2-an+1

an+1-an

=2
∴數列{a_n+1-a_n}是以2為 首項，2為公比的等比數列
（2）由（1）知a_n+1-a_n=2ⁿ
∴a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁
=2^n-1+2^n-2+…+2+1
=2ⁿ-1

點評：本題考查證明數列是等比數列常用數列的方法：是定義法與等比中項的方法；注意構造新數列是求數列的通項的常用的方法．