Question

已知函數(為實數)有極值，且在處的切線與直線平行．
（1）求實數的取值范圍；
（2）是否存在實數，使得函數的極小值為，若存在，求出實數的值；若不存在，請說明理由；
（3）設,的導數為,令
求證：

Answer 1

(1)  (2)存在.  (3)略

（1）根據極值的信息，則選用導數法，先求f'（x），再由f（x）有極值，可有=a2-4b＞0，又由在x=-1處的切線與直線x-y+1=0平行，可得f'（-1）=1-a+b=1從而求解
（2）先假存在，則根據條件，則有關于a的不等式，進而得到范圍。
（3）構造函數利用導數的思想求解函數的最值得到證明
(1)∵,∴，
由題意∴，     ①      ……2分
∵有極值，∴方程有兩個不等實根．
∴、   ∴．    ②
由①、②可得，．  ∴或．
故實數的取值范圍是  …2分
(2)存在.……………1分   
由(1)令，


∴時，取極小值，則=,
∴……………………………………………………2分
若，即則 (舍)．……………………1分
若

∴存在實數,使得函數的極小值為1  ………1分
(3)∵,
  ……．l分




∴其中等號成立的條件為………………3分