Question

已知函數(shù)，，其中．   
（1）設(shè)函數(shù)，若在區(qū)間是單調(diào)函數(shù)，求的取值范圍；
（2）設(shè)函數(shù)，是否存在，對(duì)任意給定的非零實(shí)數(shù)，存在惟一的非零實(shí)數(shù)（），使得成立？若存在，求的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

解：（1）因   ……1分
， ∵在區(qū)間上單調(diào)    
恒成立  ……2分
  恒成立
設(shè)
令有，記 
由函數(shù)的圖像可知，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，……4分
∴，于是  ……5分
∴                    ……6分
（2）當(dāng)時(shí)有；  ……7分
當(dāng)時(shí)有，因?yàn)楫?dāng)時(shí)不合題意，因此，……8分
下面討論的情形，
記 求得  A，B=
（ⅰ）當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，所以要使成立，只能且，因此有  ……9分
（ⅱ）當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，所以要使成立，只能且，因此   ……11分
綜合（ⅰ）（ⅱ）      ……12分
當(dāng)時(shí)A=B，則，即使得成立，
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823225229884520.png" style="vertical-align:middle;" />在上單調(diào)遞增，所以的值是唯一的；…13分
同理，，即存在唯一的非零實(shí)數(shù)，要使成立，
所以滿足題意.  …14分

本試題主要是考查導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的運(yùn)用。
（1）根據(jù)函數(shù)在給定區(qū)間單調(diào)遞增，則可以利用導(dǎo)函數(shù)恒大于等于零，分離參數(shù)的思想求解參數(shù)的范圍，
（2）分別分析函數(shù)f(x)和g(x)的性質(zhì)得到單調(diào)性，進(jìn)而確定是否存在點(diǎn)滿足已知條件來求解得到。