Question

如圖所示，f（x）是定義在區間[-c，c]（c＞0）上的奇函數，令g（x）=af（x）+b，并有關于函數g（x）的五個論斷：
①若a＞0，對于[-1，1]內的任意實數m，n（m＜n），

g(n)-g(m)

n-m

＞0恒成立；
②若a=-1，-2＜b＜0，則方程g（x）=0有大于2的實根
③函數g（x）的極大值為2a+b，極小值為-2a+b；
④若a≥1，b＜0，則方程g（x）=0必有3個實數根；
⑤?a∈R，g（x）的導函數g'（x）有兩個零點．
其中所有正確結論的序號是

 

．

Answer 1

分析：①對于[-c，c]內的任意實數m，n（m＜n），

g(n)-g(m)

n-m

＞0恒成立，可根據函數的單調性來進行判斷；
②由g（x）=0，得到方程f（x）=b，利用圖象進行判斷．
③函數g（x）的極值如a的符號有關系．
④若a≥1，b＜0，則方程g（x）=0必有3個實數根，由函數的圖象及參數的取值范圍進行判斷．
⑤?a∈R，則由g（x）的極值點的個數，判斷導函數g'（x）有多少個零點．

解答：解：①函數f（x）在區間[-1，1]上為增函數，故當a＞0時，g（x）=af（x）+b在[-1，1]上也為增函數
故①正確；
②當a=-1時，-f（x）仍是奇函數，2仍是它的一個零點，但單調性與f（x）相反，若再加b，-2＜b＜0，則圖象又向下平移-b個單位長度，所以g（x）=-f（x）+b=0有大于2的實根，所以②正確；
③因為函數f（x）的極大值為f（1）=2，極小值為f（-1）=-2，由于a的符號不確定，所以函數g（x）的極值是不確定的，所以③錯誤．
④若a≥1，b＜0，則方程g（x）=0必有3個實數根，本題中沒有具體限定b的范圍，故無法判斷g（x）=0有幾個根；所以④錯誤．
⑤?a∈R，由g（x）的極值點有兩個，判斷導函數g'（x）有2個零點．所以⑤正確．
故答案為：①②⑤．

點評：本題考查奇偶性與單調性的綜合，求解本題的關鍵是對函數的圖象變換的方式與系數的關系以及與所加的常數的關系的理解與運用．