Question

已知函數f(x)= (Ⅰ)求它的定義域和值域；(Ⅱ)判斷它的奇偶性；（Ⅲ）判斷它的周期性。

Answer 1

(Ⅰ)函數定義域為，k∈Z 函數值域為[） (Ⅱ) 不具備奇偶性 （Ⅲ）2π

（1）x必須滿足sinx-cosx>0，利用單位圓中的三角函數線及，k∈Z∴ 函數定義域為，k∈Z

∵
∴ 當x∈時，
∴
∴
∴ 函數值域為[）
(Ⅱ)∵ f(x)定義域在數軸上對應的點關于原點不對稱∴ f(x)不具備奇偶性
（Ⅲ）∵ f(x+2π)=f(x)∴ 函數f(x)最小正周期為2π
注；利用單位圓中的三角函數線可知，以Ⅰ、Ⅱ象限角平分線為標準，可區分sinx-cosx的符號；
以Ⅱ、Ⅲ象限角平分線為標準，可區分sinx+cosx的符號，如圖。