Question

（本題滿分16分）已知在棱長為的正方體中，為棱的中點，為正方形的中心，點分別在直線和上．

（1）若分別為棱，的中點，求直線與所成角的余弦值；
（2）若直線與直線垂直相交，求此時線段的長；
（3）在（2）的條件下，求直線與所確定的平面與平面所成的銳二面角的余弦值．

Answer 1

（1）
（2）
（3）

（1）以D為空間直角坐標系的原點，DA所在直線為x軸，DC所在直線為y軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，……3分

設與所成的角為，
則
直線與所成角的余弦值為．……………………………………… 5分
（2）設點，則=，=，=，
      即 
……⑴……………………………………………………………………8分
設直線與直線確定平面，其法向量=，
即，令，得=
設直線與直線確定平面，其法向量=，
即，令，得=
與直線相交，∥ =，……………⑵…………11分
由⑴⑵聯立方程組   解得，，
，… 13分
（本小問也可落實三條直線共面的條件得到點坐標）
（3）由（2）得=，平面的法向量=，=
直線與所確定的平面與平面所成的銳二面角的余弦值為
……………………………………………………………………………………… 16分