Question

已知⊙O的直徑為10，AB是⊙O的一條直徑，長為20的線段MN的中點P在⊙O上運動（異于A、B兩點）。
（Ⅰ）求證：與點P在⊙O上的位置無關；
（Ⅱ）當與的夾角取何值時，有最大值。

Answer 1

解：（Ⅰ）∵AB是⊙O的一條直徑，P為圓上一點，
∴AP⊥BP，即⊥，
∴·=0，
∵P為MN中點，||=20，
∴=，||=||=10，
∴=（+）·（+）
=（-）·（+）
=·+·-·-²
=（-）-100
=·-100=·-100，
∴僅與與的夾角有關，而與點P位置無關。
（Ⅱ）由（Ⅰ）有，
=100cos-100（0°≤≤180°），
∴當=0°時，取最大值0。