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已知⊙O的直徑為10，AB是⊙O的一條直徑，長為20的線段MN的中點P在⊙O上運動（異于A、B兩點）．
（Ⅰ）求證：
AM
•
BN
與點P在⊙O上的位置無關；
（Ⅱ）當
MN
與
AB
的夾角θ取何值時，
AM
•
BN
有最大值．
分析：（Ⅰ）由AB為⊙O的直徑得
AP
•
BP
=0，利用向量的加法和減法運算來表示
AM
•
BN
，由向量數量積的運算和條件進行化簡；
（Ⅱ）根據（Ⅰ）化簡的結果和向量夾角的范圍，求出夾角的余弦值的最大值代入，求出兩個向量數量積的最大值．
解答：證明：（Ⅰ）∵AB為⊙O的直徑，P為圓上一點，∴AP⊥BP，
∴
AP
⊥
BP
，則
AP
•
BP
=0，
∵P為MN的中點，且|
MN
|=20，∴
MP
=
PN
，
|MP|
= |
PN
|=10，
∴
AM
•
BN
=（
AP
+
PM
）（
BP
+
PN
）=（
AP
-
PN
）（
BP
+
PN
）
=
AP
•
BP
+
AP
•
PN
-
PN
•
BP
-
PN
•
PN

=
PN
（
AP
-
BP
）-100=
1
2
MN
•
AB
-100，
∴
AM
•
BN
僅與
MN
•
AB
的夾角有關，而與點P在⊙O上的位置無關；
解：（Ⅱ）由（Ⅰ）得，
AM
•
BN
=
1
2
MN
•
AB
-100=100cosθ-100，
∵0≤θ＜π，∴當θ=0時，
AM
•
BN
取最大值為0．
點評：本題考查了利用向量的線性運算和數量積運算，進行向量式子的求值和求解，主要根據圖形的特點和條件進行轉化，進而利用條件和夾角的范圍求出式子的值．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知⊙O的直徑為10，AB是⊙O的一條直徑，長為20的線段MN的中點P在⊙O上運動（異于A、B兩點）．
（Ⅰ）求證：數學公式•數學公式與點P在⊙O上的位置無關；
（Ⅱ）當數學公式與數學公式的夾角θ取何值時，數學公式•數學公式有最大值．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

已知⊙O的直徑為10，AB是⊙O的一條直徑，長為20的線段MN的中點P在⊙O上運動（異于A、B兩點）．
（Ⅰ）求證：
AM
•
BN
與點P在⊙O上的位置無關；
（Ⅱ）當
MN
與
AB
的夾角θ取何值時，
AM
•
BN
有最大值．

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科目：高中數學 來源：0106 月考題 題型：解答題

已知⊙O的直徑為10，AB是⊙O的一條直徑，長為20的線段MN的中點P在⊙O上運動（異于A、B兩點）。
（Ⅰ）求證：與點P在⊙O上的位置無關；
（Ⅱ）當與的夾角取何值時，有最大值。

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科目：高中數學 來源：2009-2010學年遼寧省沈陽市東北育才學校高一（下）月考數學試卷（必修4）（解析版） 題型：解答題

已知⊙O的直徑為10，AB是⊙O的一條直徑，長為20的線段MN的中點P在⊙O上運動（異于A、B兩點）．
（Ⅰ）求證：•與點P在⊙O上的位置無關；
（Ⅱ）當與的夾角θ取何值時，•有最大值．

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