Question

已知動圓C過定點F（1，0），且與定直線x=-1相切．
（Ⅰ） 求動圓圓心C的軌跡T的方程；
（Ⅱ）若軌跡T上有兩個定點A、B分別在其對稱軸的上、下兩側，且|FA|=2，|FB|=5，在軌跡T位于A、B兩點間的曲線段上求一點P，使P到直線AB的距離最大，并求距離的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由拋物線的定義知，到定點的距離等于到定直線的距離的點的軌跡為拋物線，所以動圓圓心M的軌跡為拋物線，再用求拋物線方程的方法求出軌跡C的方程即可．
（Ⅱ）由已知可得F（1，0），設A（x₁，y₁），（其中y₁＞0），通過已知條件求出A，B坐標，得到直線AB的方程，設與AB平行的直線的方程為2x+y+m=0（m≠-4）．轉化為直線與拋物線相切時，切點到AB的距離最大，通過直線與拋物線方程組，求出切點坐標以及距離的最大值．
解答：解：（Ⅰ）由題知意：動圓圓心C的軌跡方程為：y²=4x，
∴動圓的圓心C的軌跡T是以O（0，0）為頂點，以（1，0）為焦點的拋物線．
（Ⅱ）由已知可得F（1，0），設A（x₁，y₁），（其中y₁＞0），
由|FA|=2得，x₁+1=2，x₁=1，所以A（1，2），
同理可得B（4，-4），
所以直線AB的方程為：2x+y-4=0．
設與AB平行的直線的方程為2x+y+m=0（m≠-4）．
當直線與拋物線相切時，切點到AB的距離最大，
由方程組，消元得，
4x²+（4m-4）x+m²=0…*，
由△=（4m-4）²-16m²=0，得，m=．
此時（*）式的解為x=，切點P（），
距離最大值為：．
點評：本題考查了定義法求軌跡方程，以及直線拋物線的位置關系，距離的最大值的求法，考查計算能力，做題時要認真．