Question

已知動圓C過定點F（-

1

4

，0），且與直線x=

1

4

相切，圓心C的軌跡記為E．，曲線E與直線l：y=k（x+1）（k∈R）相交于A、B兩點．
（Ⅰ）求曲線E的方程；
（Ⅱ）當△OAB的面積等于

10

時，求k的值；
（Ⅲ）在曲線E上，是否存在與k的取值無關的定點M，使得MA⊥MB？若存在，求出所有符合條件的定點M；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由拋物線的定義易知這是一條以(-

1

4

，0)為焦點，以x=

1

4

為準線的拋物線，即可得其標準方程
（Ⅱ）將直線與曲線聯立，利用韋達定理，設而不求，將△OAB的面積表示為k的函數，求最值即可
（Ⅲ）假設存在這樣的點，由MA⊥MB，得

MA

 •

MB

=0，再結合（Ⅱ）中的結論即可求得此定點

解答：解：（Ⅰ）點C的軌跡方程為y²=-x，
（Ⅱ）．由方程組
消去x后，整理得
y²=-x，
y=k（x+1）
ky²+y-k=0．
設A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），由韋達定理

y1+y2=- 1 k y1y2=-1

∵A、B在拋物線y²=-x上，
∴y₁²=-x₁，y₂²=-x₂，y₁²•y₂²=x₁x₂．
設直線l與x軸交于點N，則N（-1，0）
∵S_△OAB=S_△OAN+S_△OBN
=

1

2

|ON||y₁|+

1

2

|ON||y₂|
=

1

2

|ON|•|y₁-y₂|，
∴S_△OAB=

1

2

•1•

(y1+y2)2-4y1y2

=

1

2

( 1 k )2+4

∵S_△OAB=

10

，
∴

10

=

1

2

1 k2 +4

．解得k=±

1

6

（Ⅲ）設點M（x₀，y₀），若（y₁-y₀）（y₂-y₀）+（x₁-x₀）（x₂-x₀）=0
?

1

k2

x0+

1

k

y0+

y

2 0

+2x0+

x

2 0

=0
?

x0=0 y0=0 y 2 0 +2x0+ x 2 0 =0

?

x0=0 y0=0

故存在唯一的合乎題意的點M（0，0）

點評：本題綜合考查了拋物線的定義和標準方程，直線與拋物線的關系，解題時要耐心細致，準確作答