Question

23、如圖，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分別是BB₁、CD的中點．
（1）、證明AD⊥D₁F；
（2）、求AE與D₁F所成的角．

Answer 1

分析：（1）證明線線垂直可先證線面垂直，欲證AD⊥D₁F，可先證AD⊥面DC₁，即可證得；
（2）先通過平移將兩條異面直線平移到同一個起點，取AB的中點G，將D₁F平移到A₁G，AB與A₁G構成的銳角或直角就是異面直線所成的角，利用三角形全等求出此角即可．

解答：解：
（Ⅰ）∵AC₁是正方體，
∴AD⊥面DC₁．
又D₁F?面DC₁，
∴AD⊥D₁F．
（Ⅱ）取AB中點G，連接A₁G，FG．因為F是CD的中點，所以GF、AD平行且相等，又A₁D₁、AD平行且相等，所以GF、A₁D₁平行且相等，故GFD₁A₁是平行四邊形，A₁G∥D₁F．
設A₁G與AE相交于點H，則∠AHA₁是AE與D₁F所成的角，因為E是BB₁的中點，所以Rt△A₁AG≌Rt△ABE，∠GA₁A=∠GAH，從而∠AHA₁=90°，即直線AE與D₁F所成角為直角．

點評：本小題主要考查異面直線及其所成的角，考查邏輯推理能力和空間想象能力，屬于基礎題．