Question

對于函數f(x)，若存在x₀∈R，使f(x₀)＝x₀成立，則稱x₀為f(x)的不動點，已知函數f(x)＝ax²＋(b＋1)x＋b－1(a≠0)．
(1)當a＝1，b＝－2時，求f(x)的不動點；
(2)若對任意實數b，函數f(x)恒有兩個相異的不動點，求a的取值范圍．

Answer 1

（1）－1，3（2）0<a<1

(1)當a＝1，b＝－2時，f(x)＝x²－x－3，由題意可知x＝x²－x－3，得x₁＝－1，x₂＝3，故當a＝1，b＝－2時，f(x)的不動點是－1，3.
(2)∵f(x)＝ax²＋(b＋1)x＋b－1(a≠0)恒有兩個不動點，∴x＝ax²＋(b＋1)x＋b－1，即ax²＋bx＋b－1＝0恒有兩相異實根，∴Δ＝b²－4ab＋4a>0(b∈R)恒成立．于是Δ′＝(4a)²－16a<0，解得0<a<1，故當b∈R，f(x)恒有兩個相異的不動點時，0<a<1