Question

已知函數y=x²+（2m+1）x+m²-1（m為實數）
（1）m是什么數值時，y的極值是0？
（2）求證：不論m是什么數值，函數圖象（即拋物線）的頂點都在同一條直線L₁上．

Answer 1

分析：（1）二次函數研究極值問題，可利用配方法研究極值，根據y的極值是0建立等量關系．
（2）先求出函數圖象拋物線的頂點坐標，根據點的橫坐標與縱坐標消取參數m即可得頂點軌跡，再進一步驗證即可．

解答：解：（1）用配方法得：y=(x+

2m+1

2

)2-

4m+5

4

∴的極小值為-

4m+5

4

．所以當極值為0時，4m+5=0，m=-

5

4

（2）函數圖象拋物線的頂點坐標為(-

2m+1

2

，-

4m+5

4

)
即x=-

2m+1

2

=-m-

1

2

，y=-

4m+5

4

=-m-

5

4

，
二式相減得：-y=

3

4

，此即各拋物線頂點坐標所滿足的方程它的圖象是一條直線，方程中不含m，因此，不論m是什么值，拋物線的頂點都在這條直線上．

點評：本題主要考查了利用導數研究函數的極值，以及拋物線的應用，屬于中檔題．