Question

已知定義在（-1，1）上的奇函數f（x）在x∈（0，1）時f(x)=

2x

4x+1

，
（1）試求f（x）的解析式；
（2）試判斷并證明f（x）在（0，1）上的單調性；
（3）當λ取何值時，不等式λ4^x-2^x+λ＞0 在x∈（0，1）上有實數解？

Answer 1

分析：（1）由奇函數性質可得f（-0）=-f（0），由此可求f（0）；當x∈（-1，0）時，-x∈（0，1），由已知表達式可求f（-x），根據奇函數性質可得f（x）與f（-x）的關系，從而可得f（x），綜上可得f（x）在（-1，1）上的解析式；
（2）x∈（0，1）時f(x)=

2x

4x+1

，利用函數單調性的定義即可作出判斷證明；
（3）令t=2^x，易求t的范圍為（1，2），則λ4^x-2^x+λ＞0 化為λt²-t+λ＞0，分離出參數λ后轉化求函數的最值即可解決；

解答：解：（1）∵f（x）為（-1，1）上的奇函數，
∴f（-0）=-f（0），即f（0）=-f（0），解得f（0）=0；
當x∈（-1，0）時，-x∈（0，1），
∵x∈（0，1）時f(x)=

2x

4x+1

，
∴f（-x）=

2-x

4-x+1

=

2x

1+4x

，
又f（x）為奇函數，
∴f（x）=-f（-x）=-

2x

1+4x

；
∴f(x)=

2x 4x+1 ，x∈(0，1) 0，x=0 - 2x 1+4x ，x∈(-1，0)

．
（2）f（x）在（0，1）上單調遞減，證明如下：
x∈（0，1）時f(x)=

2x

4x+1

，
任取x₁，x₂∈（0，1），且x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）=

2x1

4x1+1

-

2x2

4x2+1

=

2x1(4x2+1)-2x2(4x1+1)

(4x1+1)(4x2+1)

=

(2x2-2x1)(2x1+x2-1)

(4x1+1)(4x2+1)

，
∵x₁，x₂∈（0，1），且x₁＜x₂，
∴2x2-2x1＞0，2x1+x2-1＞0，4x1+1＞0，4x2+1＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂），
∴f（x）在（0，1）上是減函數；
（3）令t=2^x，∵x∈（0，1），∴t∈（1，2），
則λ4^x-2^x+λ＞0 化為λt²-t+λ＞0，即λ＞

t

t2+1

，
∴不等式λ4^x-2^x+λ＞0 在x∈（0，1）上有實數解，等價于λ＞

t

t2+1

在（1，2）上有實數解，
∵

t

t2+1

=

1

t+ 1 t

，且t+

1

t

在（1，2）上遞增，
∴

1

t+ 1 t

在（1，2）上遞減，
∴

1

2+ 1 2

＜

1

t+ 1 t

＜

1

1+ 1 1

，即

2

5

＜

1

t+ 1 t

＜

1

2

，
∴λ＞

2

5

，即λ＞

2

5

時不等式λ4^x-2^x+λ＞0 在x∈（0，1）上有實數解．

點評：本題考查函數奇偶性的應用、單調性的判斷證明、不等式的求解，考查轉化思想，考查學生綜合運用知識解決問題的能力．