Question

已知，

lim

x→2

x2+cx+2

x-2

=a，且函數y=alnx+

b

x

+c在（1，e）上具有單調性，則b的取值范圍是（　　）

• A、（-∞，1]∪[e，+∞]
• B、（-∞，0]∪[e，+∞]
• C、（-∞，e]
• D、[1，e]

Answer 1

分析：先由

lim

x→2

x2+cx+2

x-2

=a，求得a=1，c=-3，從而得到y=alnx+

b

x

+c=lnx+

b

x

-3，再由“函數y=alnx+

b

x

+c在（1，e）上具有單調性”轉化為“y′=

1

x

-

b

x2

≥0或y′=

1

x

-

b

x2

≤0在（1，e）上恒成立”，再令t=

1

x

∈（

1

e

 ，1）轉化為-bt²+t≥0或-bt²+t≤0在（

1

e

 ，1）上恒成立，由二次函數的性質求解．

解答：解：∵

lim

x→2

x2+cx+2

x-2

=a，
∴a=1，c=-3，
∴y=alnx+

b

x

+c=lnx+

b

x

-3
∵函數y=alnx+

b

x

+c在（1，e）上具有單調性
∴y′=

1

x

-

b

x2

≥0或y′=

1

x

-

b

x2

≤0在（1，e）上恒成立
∴令t=

1

x

∈（

1

e

 ，1）
∴-bt²+t≥0或-bt²+t≤0
∴b≤1或b≥e
故選A

點評：本題主要考查導數法研究函數的單調性，基本思路：當函數是增函數時，導數大于等于零恒成立，當函數是減函數時，導數小于等于零恒成立，然后轉化為求相應函數的最值問題．