Question

關于x的方程（x²-4）²-4|x²-4|+k=0，給出下列四個命題：
①存在實數k，使得方程恰有2個不同的實根；
②存在實數k，使得方程恰有4個不同的實根；
③存在實數k，使得方程恰有5個不同的實根；
④存在實數k，使得方程恰有6個不同的實根；
⑤存在實數k，使得方程恰有8個不同的實根．
其中真命題的序號是

①②③⑤

（寫出所有真命題的序號）．

Answer 1

分析：將方程的問題轉化成函數圖象的問題，畫出可得．

解答：解：令y=（x²-4）²-4|x²-4|，y=-k
當x≤-2，或x≥2時，y=（x²-4）²-4（x²-4）
當-2＜x＜2時，y=（x²-4）²+4（x²-4）
故y=

(x2-4)2-4(x2-4)       x≤-2，或x≥2 (x2-4)+4(x2-4)         -2＜x＜2

作出兩函數的圖象，觀察k的值與交點的情況得方程解的個數．
當-k＞0，即k＜0時，直線y=-k與函數圖象有兩個交點，即原方程有兩解．故命題①成立．
當-k=0，即k=0時，直線與函數圖象有五個交點，即原方程有五解．故命題③成立．
當-4＜k＜0，即0＜k＜4時，直線與函數圖象有八個交點，即原方程有八解．故命題⑤成立．
當-k=-4，即k=4時，直線與函數圖象有四個交點，即原方程有四解．故命題②成立．
當-k＜-4，即k＞4時，直線與函數圖象沒有交點．
故正確的是①②③⑤

點評：本題考查了分段函數，以及函數與方程的思想，數形結合的思想．