Question

已知函數g(x)＝ax2－2ax＋1＋b(a≠0，b<1)，在區間[2，3]上有最大值4，最小值1，設函數f(x)＝.

(1)求a、b的值及函數f(x)的解析式；

(2)若不等式f(2x)－k·2x≥0在x∈[－1，1]時有解，求實數k的取值范圍．

 

Answer 1

（1）a＝1，b＝0，g(x)＝x2－2x＋1，f(x)＝x＋－2.（2）(－∞，1]

【解析】(1)g(x)＝ax2－2ax＋1＋b，由題意得

①得

②得 (舍)．

∴a＝1，b＝0，g(x)＝x2－2x＋1，f(x)＝x＋－2.

(2)不等式f(2x)－k·2x≥0，即2x＋－2≥k·2x，

∴k≤－2·＋1.

設t＝，則k≤t2－2t＋1，∵x∈[－1，1]，故t∈.

記h(t)＝t2－2t＋1，∵t∈，∴h(t)max＝1，

故所求k的取值范圍是(－∞，1]