Question

（本題滿分10分）如圖，已知四棱錐底面為菱形，平面，，分別是、的中點.

(1)證明：

 (2)設， 若為線段上的動點，與平面所成的最大角的正切值為

，求此時異面直線AE和CH所成的角.

 

Answer 1

【答案】

．（1）證明：見解析；（2）異面直線所成角30⁰

【解析】

試題分析：（I）根據題意可得：△ABC為正三角形，所以AE⊥BC，又因為BC∥AD，所以AE⊥AD．又PA⊥AE，且PA∩AD=A，所以AE⊥平面PAD，進而可得答案；

（Ⅱ）先根據條件由（1）知AE⊥平面PAD，

則∠EHA為EH與平面PAD所成的角. 在Rt△EAH中，AE=，所以  當AH最短時，∠EHA最大進而得到異面直線的所成的角。

（1）證明：由四邊形ABCD為菱形，∠ABC=60°，

可得△ABC為正三角形.因為E為BC的中點，

所以AE⊥BC.又BC∥AD，因此AE⊥AD. 

因為PA⊥平面ABCD，

AE平面ABCD，所以PA⊥AE.而 PA平面PAD，

AD平面PAD 且PA∩AD=A，所以 AE⊥平面PAD，

又PD平面PAD.所以 AE⊥PD.

（2）解：設AB=2，H為PD上任意一點，

連接AH，EH.  由（1）知AE⊥平面PAD，

則∠EHA為EH與平面PAD所成的角.

在Rt△EAH中，AE=，所以  當AH最短時，∠EHA最大，

即當AH⊥PD時，∠EHA最大.此時tan∠EHA=

因此AH=.又AD=2，所以∠ADH=45所以 PA=2.

異面直線所成角30⁰

考點：本題主要是考查線面垂直的證明以及異面直線所成的角的求解。

點評：解決此類問題的關鍵是熟練掌握幾何體的結構特征，以便利用已知條件得到空間的線面關系，并且便于建立坐標系利用向量的有關運算解決空間角等問題