Question

已知Z是復數，Z+2i，

z

2-i

均為實數（i為虛數單位），且復數（z+ai）²在復平面對應的點在第二象限，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：設z=m+ni，由Z+2i=m+ni+2i是實數，求得n=-2，

z

2-i

=

m-2i

2-i

=

(2m+2)+(m-4)i

5

實數，求得m=4，故z=4-2i．所以（z+ai）²=（12-a²+4a）+（8a-16）i，再由復數（z+ai）²在復平面對應的點在第二象限，能求出實數a的取值范圍．

解答：解：（1）設z=m+ni
∵Z+2i=m+ni+2i是實數，
∴n=-2，

z

2-i

=

m-2i

2-i

=

(2m+2)+(m-4)i

5

實數，
∴m=4，
∴z=4-2i．…6'
∴（z+ai）²=（4-2i+ai）²=16+8（a-2）i+（a-2）²i²=（12-a²+4a）+（8a-16）i，
∵復數（z+ai）²在復平面對應的點在第二象限，
∴

12-a2+4a＜0 8a-16＞0

，解得a＞6．
∴實數a的取值范圍是{a|a＞6}．…12'

點評：本題考查復數的代數形式的乘除運算，是基礎題．解題時要認真審題，仔細解答，注意復數的幾何意義的靈活運用．