Question

已知函數在處的切線與軸平行．
(1)求的值和函數的單調區間；
(2)若函數的圖象與拋物線恰有三個不同交點，求的取值范圍．

Answer 1

(1)；函數的單調遞增區間為；的單調遞減區間為；(2)的取值范圍．

試題分析：(1)首先求函數的導數，由已知條件函數在處的切線與軸平行，解方程可得的值；解不等式可得函數的單調遞增區間，解不等式可得函數的單調遞減區間為；(2) 令，則由題意等價于有三個不同的根，即的極小值為小于0，且的極大值為大于0．因此利用導數求函數的極大極小值，列不等式組并求解即得的取值范圍．
試題解析：(1)，                                 （2分）
由，解得.                         （3分）
則，
故的單調遞增區間為；的單調遞減區間為．
（判斷過程給兩分）       （7分）
(2)令，     （8分）
則原題意等價于有三個不同的根．
∵，                     （9分）
∴在上遞增，在上遞減．       （10分）
則的極小值為，且的極大值為，
解得. 的取值范圍．                     （13分）