Question

已知函數，且.
（1）判斷的奇偶性并說明理由；
（2）判斷在區間上的單調性，并證明你的結論；
（3）若對任意實數，有成立，求的最小值.

Answer 1

（1）是奇函數；（2）在區間上單調遞增；（3）.

試題分析：（1）由條件可求得函數解析式中的值，從而求出函數的解析式，求出函數的定義域并判斷其是否關于原點對稱（這一步很容易被忽略），再通過計算，與進行比較解析式之間的正負，從而判斷的奇偶性；（2）由（1）可知函數的解析式，根據函數單調性的定義法進行判斷求解，（常用的定義法步驟：取值；作差；整理；判斷；結論）；（3）綜合（1）（2），根據函數的奇偶性、單調性，以及自變量的范圍，分別求出函數在最大、最小值，從而得出式子最大值，求出實數的最小值.
試題解析：（1）即 
函數定義域為關于原點對稱

是奇函數                    4分
（2）任取
則
        
在區間上單調遞增         8分
（3）依題意只需
又
                 12分