Question

已知函數，且在時函數取得極值.
（1）求的單調增區間；
（2）若，
（Ⅰ）證明：當時，的圖象恒在的上方；
（Ⅱ）證明不等式恒成立.

Answer 1

（1）函數的單調增區間為和；（2）詳見解析.

試題分析：（1）先利用函數在處取得極值，由求出的值，進而求出的解析式，解不等式，從而得出函數的單調增區間；（2）（Ⅰ）構造新函數，利用導數證明不等式在區間上成立，從而說明當時，的圖象恒在的上方；
（Ⅱ）由（Ⅰ）中的結論證明當時，，由此得到，，，，結合累加法得到，再進行放縮得到
，從而證明.
試題解析：（1），，函數的定義域為，
由于函數在處取得極值，則，
，
解不等式，得或，
故函數的單調增區間為和；
（2）（Ⅰ）構造函數，其中，
，故函數在區間上單調遞減，
則對任意，則，即，即，
即當時，的圖象恒在的上方；
（Ⅱ）先證當時，，由（Ⅰ）知，當且時，，
故有，
由于，，，，
上述個不等式相加得，即，
即，由于，
上述不等式兩邊同時乘以得.