Question

設(shè),.
（Ⅰ）當(dāng)時,求曲線在處的切線的方程;
（Ⅱ）如果存在,使得成立,求滿足上述條件的最大整數(shù);
（Ⅲ）如果對任意的,都有成立,求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

（1）；（2）；（3）.

試題分析：本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最值等基礎(chǔ)知識，考查函數(shù)思想和轉(zhuǎn)化思想，考查綜合分析和解決問題的能力.第一問，將代入得到解析式，求將代入得到切線的斜率，再將代入到中得到切點(diǎn)的縱坐標(biāo)，利用點(diǎn)斜式求出切線方程；第二問，先將問題轉(zhuǎn)化為，進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最大值和最小值問題，對求導(dǎo)，通過畫表判斷函數(shù)的單調(diào)性和極值，求出最值代入即可；第三問，結(jié)合第二問的結(jié)論，將問題轉(zhuǎn)化為恒成立，進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為恒成立，設(shè)出新函數(shù)，求的最大值，所以即可.
試題解析：(1)當(dāng)時,,,,,
所以曲線在處的切線方程為;         2分
(2)存在,使得成立等價于:,
考察,,

		遞減	極小值	遞增

由上表可知:,
,
所以滿足條件的最大整數(shù);                       7分
(3)當(dāng)時,恒成立等價于恒成立,
記，，，
記，，由于，
，所以在上遞減，
當(dāng)時，，時，，
即函數(shù)在區(qū)間上遞增，在區(qū)間上遞減，
所以，所以.