Question

已知函數（），．
（Ⅰ）若，曲線在點處的切線與軸垂直，求的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，求證：；
（Ⅲ）若，試探究函數與的圖象在其公共點處是否存在公切線，若存在，研究值的個數；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（Ⅰ）（Ⅱ）見解析（Ⅲ）當時，函數與的圖象在其公共點處不存在公切線；當時，函數與的圖象在其公共點處存在公切線，且符合題意的值有且僅有兩個

(I)當a=1時，根據建立關于b的方程，求出b值.
(II)由（I）得，定義域為，要證，
只須證，然后構造函數， 
利用導數研究其最小值，證明最小值大于零即可.
(III)本小題屬于探索性問題，先假設函數與的圖象在其公共點處存在公切線，則滿足
，所以,即,從而求出,
然后再討論是否大于零來確定假設是否成立.
解：（Ⅰ），，
∴，         --------------------------2分
依題意得 ，∴．         --------------------------3分
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，定義域為，
要證，只須證，
設，          -------------------4分
則，
令，得， ---------------------------6分
列表得

	遞減	極小	遞增

∴時，取極小值也是最小值，且，
∴，∴. --------------------8分
（Ⅲ）假設函數與的圖象在其公共點處存在公切線，
∵，∴，
∵，，由得，，
即，∴，--------------9分
∵的定義域為，
當時，，∴函數與的圖象在其公共點處不存在公切線；---10分
當時，令 ，∵，，
∴，即， ----------------11分
下面研究滿足此等式的值的個數：
（方法一）由得 ，
設函數，，
令得，當時，遞增；
當時，遞減；
所以，，又時，，
時，，
所以，函數的圖象與軸有且僅有兩個交點，即符合題意的值有且僅有兩個．
綜上，當時，函數與的圖象在其公共點處不存在公切線；
當時，函數與的圖象在其公共點處存在公切線，
且符合題意的值有且僅有兩個．-------------------------------14分
(方法二)設，則，且，方程化為，
分別畫出和的圖象，因為時，，
由函數圖象性質可得和圖象有且只有兩個公共點（且均符合），
所以方程有且只有兩個解．
綜上，當時，函數與的圖象在其公共點處不存在公切線；
當時，函數與的圖象在其公共點處存在公切線，
且符合題意的值有且僅有兩個．--------------------------------14分