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如圖，直三棱柱的側棱長為3，，且，、分別是棱、上的動點，且
（1）證明：無論在何處，總有；
（2）當三棱柱.的體積取得最大值時，求異面直線與所成角的余弦值.

（1）詳見解析；（2）.

解析試題分析：（1）利用正方形的性質，線面垂直的判定與性質定理求解；（2）利用三棱柱的體積公式，均值不等式求得.
試題解析：

（1）∵是正方形，∴，
又，，
∴平面，                      （4分）
∴，平面，
又平面，∴.                      （6分）
（2）設三棱錐的體積為，
當時取等號，                         （8分）
故當時，即、分別是棱、上的中點時，體積最大，
則為所求.
∴，，，∴.    （12分）
考點：三棱柱的性質，體積，均值不等式，最值.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：解答題

如圖，四棱錐的底面為矩形，，，分別是的中點，．

（Ⅰ）求證：平面；
（Ⅱ）求證：平面平面．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知直角梯形中，是邊長為2的等邊三角形，．沿將折起，使至處，且；然后再將沿折起，使至處，且面面，和在面的同側．

(Ⅰ) 求證：平面；
(Ⅱ) 求平面與平面所構成的銳二面角的余弦值．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

如圖，在三棱錐中，，，，設頂點A在底面上的射影為R．
（Ⅰ）求證: ；
（Ⅱ）設點在棱上，且，試求二面角的余弦值．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

如圖，四棱柱中， 是上的點且為中邊上的高.
（Ⅰ）求證：平面；
（Ⅱ）求證：；
（Ⅲ）線段上是否存在點，使平面？說明理由.

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

如圖，平面四邊形的4個頂點都在球的表面上，為球的直徑，為球面上一點，且平面 ，，點為的中點.
(1) 證明：平面平面；
(2) 求平面與平面所成銳二面角的余弦值.

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知是正方形，⊥面,且，是側棱的中點.

（1）求證∥平面；
（2）求證平面平面；
（3）求直線與底面所成的角的正切值.

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

如圖，已知三棱錐的側棱兩兩垂直，且，，是的中點．

（1）求異面直線與所成的角的余弦值
（2）求二面角的余弦值
（3）點到面的距離

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

如圖，已知多面體中，⊥平面，⊥平面， ，，為的中點．

（1）求證：⊥平面；
（2）求二面角的大小．

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