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已知直角梯形中，是邊長為2的等邊三角形，．沿將折起，使至處，且；然后再將沿折起，使至處，且面面，和在面的同側．

(Ⅰ) 求證：平面；
(Ⅱ) 求平面與平面所構成的銳二面角的余弦值．

(Ⅰ)詳見解析；(Ⅱ)平面與平面所構成的銳二面角的余弦值為．

解析試題分析：(Ⅰ)在直角梯形ABCD中，由平面幾何知識，又，可證得平面；(Ⅱ)建立空間直角坐標系，利用法向量可求出二面角的余弦值．
試題解析：(Ⅰ)證明：在直角梯形ABCD中，可算得
根據勾股定理可得，即：，又，平面；
(Ⅱ)以C為原點，CE為y軸，CB為z軸建立空間直角坐標系，如圖，則,，，，作，因為面面，易知，，且，
從平面圖形中可知：，易知面CDE的法向量為
設面PAD的法向量為，且．
解得
故所求平面與平面所構成的銳二面角的余弦值為．

考點：1、線面垂直的判定，2、二面角的求法．

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：解答題

如圖，四棱錐中，側面是等邊三角形，在底面等腰梯形中，，，，，為的中點，為的中點，.

（1）求證：平面平面；
（2）求證：平面.

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

在如圖所示的幾何體中,是邊長為2的正三角形. 若平面,平面平面, ,且

（1）求證：//平面;
（2）求證：平面平面.

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

如圖所示的幾何體ABCDFE中，△ABC，△DFE都是等邊三角形，且所在平面平行，四邊形BCED是邊長為2的正方形，且所在平面垂直于平面ABC．
（Ⅰ）求幾何體ABCDFE的體積；
（Ⅱ）證明：平面ADE∥平面BCF；

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知長方體中，底面為正方形，面，，，點在棱上，且．

（Ⅰ）試在棱上確定一點，使得直線平面，并證明；
（Ⅱ）若動點在底面內，且，請說明點的軌跡，并探求長度的最小值．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

如圖，在幾何體中，平面，，是等腰直角三角形，，且，點是的中點．

（Ⅰ）求證：平面；
（Ⅱ）求與平面所成角的正弦值．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

如圖，四邊形是正方形，，，， ．

（Ⅰ）求證：平面平面；
（Ⅱ）若與所成的角為，求二面角的余弦值．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

如圖，直三棱柱的側棱長為3，，且，、分別是棱、上的動點，且
（1）證明：無論在何處，總有；
（2）當三棱柱.的體積取得最大值時，求異面直線與所成角的余弦值.

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

如圖, 四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是正方形, O為底面中心, A1O⊥平面ABCD, .

(Ⅰ) 證明: A1C⊥平面BB1D1D;
(Ⅱ) 求平面OCB1與平面BB1D1D的夾角的大小.

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