Question

(本題滿分16分)(Ⅰ)試比較的大小；
(Ⅱ)試比較nⁿ⁺¹與(n+1)ⁿ(n∈N₊)的大小，根據(Ⅰ)的結果猜測一個一般性結論，并加以證明.

Answer 1

解：(Ⅰ)由于，，則；
又，，則；
所以. …………………………………………6分
(Ⅱ)當n=1,2時，有nⁿ⁺¹<(n+1)ⁿ.………………………………………8分
當n≥3時，有n^n+!>(n+1)ⁿ. 證明如下：
令，.
又.
∴a_n+1>a_n即數列{a_n}是一個單調遞增數列.
則a_n>a_n-1>…>a₃>1
∴即nⁿ⁺¹>(n+1)ⁿ. ……………………………………16分
另證：構造函數f(x)=(x≥3)，f(x)==，
∴f(x)=在[3,+∞為遞減函數，則f(n)>f(n+1)，
即，，∴，
即nⁿ⁺¹>(n+1)ⁿ(n≥3時結論成立).

略