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已知函數，且其導函數的圖像過原點．

(1)當a＝1時，求函數f(x)的圖像在x＝3處的切線方程；

(2)若存在x＜0，使得，求a的最大值；

(3)當a＞0時，求函數f(x)的零點個數．

答案：
解析：

　　解：，

　　由得，．　2分

　　(1)當時，，，，

　　所以函數的圖像在處的切線方程為，即　4分

　　(2)存在，使得，

　　，，

　　當且僅當時，所以的最大值為．　9分

　　(3)當時，的變化情況如下表：　11分

　　的極大值，

　　的極小值

　　又，．

　　所以函數在區間內各有一個零點，

　　故函數共有三個零點．　14分

　　注：①證明的極小值也可這樣進行：

　　設，

　　則

　　當時，，當時，，

　　函數在區間上是增函數，在區間上是減函數，

　　故函數在區間上的最大值為，

　　從而的極小值．

　　②證明函數共有三個零點．也可這樣進行：的極大值，

　　的極小值，

　　當無限減小時，無限趨于 當 無限增大時，無限趨于

　　故函數在區間內各有一個零點，故函數共有三個零點．


練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知定義在實數集上的函數fn(x)=xn，（x∈N*），其導函數記為fn′（x），且滿足fn′[ax1+(1-a)x2]  =
f2(x2)-f2(x1) x2-x1
，其中a，x1，x2為常數，x1≠x2．設函數g（x）=f1（x）+mf2（x）-lnf3（x），（m∈R且m≠0）．
（Ⅰ）求實數a的值；
（Ⅱ）若函數g（x）無極值點，其導函數g′（x）有零點，求m的值；
（Ⅲ）求函數g（x）在x∈[0，a]的圖象上任一點處的切線斜率k的最大值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（14分）已知函數，且其導函數的圖像過原點．

（Ⅰ）當時，求函數的圖像在處的切線方程；

（Ⅱ）若存在，使得，求的最大值；

（Ⅲ）當時，求函數的零點個數．

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科目：高中數學 來源：2012-2013學年廣東省高三8月摸底考試文科數學試卷（解析版） 題型：解答題

已知函數，且其導函數的圖像過原點.

(1)當時，求函數的圖像在處的切線方程;

(2)若存在，使得，求的最大值；

 

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科目：高中數學 來源：模擬題 題型：解答題

已知f（x）=2x-x2，g（x）=logax（a＞0且a≠1），
（Ⅰ）過P（0，2）作曲線y=f（x）的切線，求切線方程；
（Ⅱ）設h（x）=f（x）-g（x）在定義域上為減函數，且其導函數y=h′（x）存在零點，求實數a的值。

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