Question

（2013•寧波二模）已知函數f（x）=a（x-1）²+lnx．a∈R．
（Ⅰ）當a=-

1

4

時，求函數y=f（x）的單調區間；
（Ⅱ）當x∈[1，+∞）時，函數y=f（x）圖象上的點都在不等式組

x≥1 y≤x-1

所表示的區域內，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）a=-

1

4

時求出f′（x），在定義域內解不等式f'（x）＞0，f'（x）＜0即可；
（Ⅱ）由題意得a（x-1）²+lnx≤x-1對x∈[1，+∞）恒成立，設g（x）=a（x-1）²+lnx-x+1，x∈[1，+∞），則問題等價于g（x）_max≤0，x∈[1，+∞）成立，求導數g′（x），按照a的范圍分類進行討論可得g（x）的單調性，根據單調性可得g（x）的最大值，由最大值情況即可求得a的范圍；

解答：解：（Ⅰ）a=-

1

4

，f(x)=-

1

4

(x-1)2+lnx（x＞0），
f′(x)=-

1

2

x+

1

2

+

1

x

=

-x2+x+2

2x

=

-(x-2)(x+1)

2x

，
當0＜x＜2時，f'（x）＞0，f（x）在（0，2）上單調遞增；
當x＞2時，f'（x）＜0，f（x）在（0，2）上單調遞減；
所以函數的單調遞增區間是（0，2），單調遞減區間是（2，+∞）． 
（Ⅱ）由題意得a（x-1）²+lnx≤x-1對x∈[1，+∞）恒成立，
設g（x）=a（x-1）²+lnx-x+1，x∈[1，+∞），則有g（x）_max≤0，x∈[1，+∞）成立．
求導得g′(x)=

2ax2-(2a+1)x+1

x

=

(2ax-1)(x-1)

x

，
①當a≤0時，若x＞1，則g'（x）＜0，所以g（x）在[1，+∞）單調遞減，g（x）_max=g（1）=0≤0成立，得a≤0；
②當a≥

1

2

時，x=

1

2a

≤1，g（x）在x∈[1，+∞）上單調遞增，所以存在x＞1，使g（x）＞g（1）=0，此時不成立；    
③當0＜a＜

1

2

時，x=

1

2a

＞1，則f(x)在[1，

1

2a

]上單調遞減，[

1

2a

，+∞)單調遞增，
則存在

1

a

∈[

1

2a

，+∞)，有g(

1

a

)=a(

1

a

-1)2+ln

1

a

-

1

a

+1=-lna+a-1＞0，所以不成立；
綜上得a≤0．

點評：本題考查利用導數研究函數的單調性、最值，考查恒成立問題，考查分類討論思想，恒成立問題往往轉化為函數最值解決，解決（Ⅱ）問的關鍵是正確理解題意并能合理進行轉化．