Question

（2013•寧波二模）設函數f（x）的導函數為f′（x），對任意x∈R都有f′（x）＞f（x）成立，則（　　）

A．3f（ln2）＞2f（ln3）

B．3f（ln2）=2f（ln3）

C．3f（ln2）＜2f（ln3）

D．3f（ln2）與2f（ln3）的大小不確定

Answer 1

分析：構造函數g（x）=

f(x)

ex

，利用導數可判斷g（x）的單調性，由單調性可得g（ln2）與g（ln3）的大小關系，整理即可得到答案．

解答：解：令g（x）=

f(x)

ex

，則g′(x)=

f′(x)•ex-f(x)•ex

e2x

=

f′(x)-f(x)

ex

，
因為對任意x∈R都有f'（x）＞f（x），
所以g′（x）＞0，即g（x）在R上單調遞增，
又ln2＜ln3，所以g（ln2）＜g（ln3），即

f(ln2)

eln2

＜

f(ln3)

eln3

，
所以

f(ln2)

2

＜

f(ln3)

3

，即3f（ln2）＜2f（ln3），
故選C．

點評：本題考查導數的運算及利用導數研究函數的單調性，屬中檔題，解決本題的關鍵是根據選項及已知條件合理構造函數，利用導數判斷函數的單調性．