Question

（2005•上海模擬）設(shè)f(x)=

ax+1

1-ax

(a＞0，a≠1)．
（1）求f（x）的反函數(shù)f^-1（x）：
（2）討論f^-1（x）在（1．+∞）上的單調(diào)性，并加以證明：
（3）令g（x）=1+log_ax，當(dāng)[m，n]?（1，+∞）（m＜n）時(shí)，f^-1（x）在[m，n]上的值域是[g（n），g（m）]，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）令y=f(x)=

ax+1

1-ax

(a＞0，a≠1)，由求反函數(shù)的規(guī)則解出f^-1（x）．
（2）由（1）f-1(x)=loga

x-1

x+1

(x＞1或x＜-1)，此是一個(gè)復(fù)合函數(shù)函數(shù)，外層函數(shù)的單調(diào)性要由底數(shù)a的取值范圍確定，要分兩類討論，內(nèi)層函數(shù)的單調(diào)性可由定義法證明，再由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性判斷出函數(shù)的單調(diào)性即可．
（3）本題要按a的取值范圍分兩類求解，當(dāng)0＜a＜1時(shí)，g（x）=1+log_ax是一個(gè)減函數(shù)，由（2）f^-1（x）在（1．+∞）上是減函數(shù)故可得

f-1(m)=g(m) f-1(n)=g(n)

從中解出a的取值范圍，當(dāng)a＞1時(shí)，同理可得

f-1(m)=g(n) f-1(n)=g(m)

，解出a的取值范圍，再并起來(lái)即可得到符合條件的參數(shù)的取值范圍．

解答：解：（1）令y=f(x)=

ax+1

1-ax

(a＞0，a≠1)，解得f-1(x)=loga

x-1

x+1

(x＞1或x＜-1)
（2）設(shè)1＜x₁＜x₂，∵

x1-1

x1+1

-

x2-1

x2+1

=

2(x1-x2)

(x1+1)(x2+1)

＜0
∴0＜a＜1時(shí)，f^-1（x₁）＞f^-1（x₂），
∴f^-1（x）在（1．+∞）上是減函數(shù)：
a＞1時(shí)，f^-1（x₁）＜f^-1（x₂），
∴f^-1（x）在（1．+∞）上是增函數(shù)．
（3）當(dāng)0＜a＜1時(shí)，∵f^-1（x）在（1．+∞）上是減函數(shù)，
∴

f-1(m)=g(m) f-1(n)=g(n)

，即有loga

x-1

x+1

=1+logax得

x-1

x+1

=ax，即ax²+（a-1）x+1=0，可知方程的兩個(gè)根均大于1，故有

△＞0 f(1)＞0 1-a 2a ＞1

⇒0＜a＜3-2

2

，
當(dāng)a＞1時(shí)，∵f^-1（x）在（1．+∞）上是增函數(shù)，
∴

f-1(m)=g(n) f-1(n)=g(m)

⇒

m-1=amn+an n-1=amn+am

⇒a=-1（舍去）．   
綜上，得 0＜a＜3-2

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查對(duì)數(shù)函數(shù)的綜合運(yùn)用，考查了反函數(shù)的求法，復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷，利用單調(diào)性確定函數(shù)的最值，解題的關(guān)鍵是理解對(duì)數(shù)的單調(diào)性，利用單調(diào)性判斷出最值，由最值得出方程，解出參數(shù)的取值范圍，分類討論得出函數(shù)的單調(diào)性是本題的重點(diǎn)，本題難點(diǎn)出現(xiàn)在第三小題，由

f-1(m)=g(m) f-1(n)=g(n)

，轉(zhuǎn)化出loga

x-1

x+1

=1+logax，題后注意體會(huì)規(guī)律．