Question

已知函數f(x)=aln(x+1)+

1

x-1

（1）當a=2時，求曲線y=f（x）在點（0，f（0））處的切線方程；
（2）當a=3時，求f（x）的極值；
（3）求f（x）的單調區間．

Answer 1

分析：（1）欲求在點（0，f（0））處的切線方程，只須求出其斜率的值即可，故先利用導數求出在x=0處的導函數值，再結合導數的幾何意義即可求出切線的斜率．從而問題解決．
（2）先對函數y=f（x）進行求導，然后令導函數大于0（或小于0）求出x的范圍，根據f′（x）＞0求得的區間是單調增區間，f′（x）＜0求得的區間是單調減區間，即可得到答案；
（3）先求函數的定義域，然后求出函數的導函數，再討論導數的正負，在函數的定義域內解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，即可求出函數的單調區間，從而得出函數的極值若在函數式中含字母系數，往往要分類討論．

解答：解：（1）當a=2時，f(x)=2ln(x+1)+

1

x-1

，x＞-1且x≠1．
所以 f′(x)=

2

x +1

-

1

(x-1) 2

，
因此f′（0）=1．即曲線y=f（x）在點（0，f（0））處的切線斜率為1．
又f（0）=-1，（4分）
所以曲線y=f（x）在點（0，f（0））處的切線方程為x-y-1=0．
（2）因為 f(x)=3ln(x+1)+

1

x-1

，x＞-1且x≠1．
所以 f′(x)=

3

x +1

-

1

(x-1) 2

=

3x2-7x+2

(x+1)(x-1) 2

，
令f'（x）＞0⇒-1＜x＜

1

3

，或x＞2，令f'（x）＜0⇒

1

3

＜x＜2
故f（x）的單調遞增區間為（-1，

1

3

），（2，+∞）
f（x）的單調遞減區間為（

1

3

，2）
f（x）的極大值為f（

1

3

）=3ln

4

3

-

3

2

；
f（x）的極小值為f（2）=3ln3+

1

2

；
（3）∵f(x)=aln(x+1)+

1

x-1

∴f′(x)=

a

x +1

-

1

(x-1) 2

=

a(x-1)2-x-1

(x+1)(x-1) 2

令g（x）=a（x-1）²-x-1，x＞-1且x≠1
①當a=0時，g（x）=-x-1，
x∈（-1，+∞）時，g（x）＜0，此時f′（x）＜0，函數f（x）單調遞減．（9分）
②當 0＜a＜

1

2

時，由f′（x）=0即解得x₁=1，x2=

1

a

-1，此時

1

a

-1＞1＞0，
所以當x∈（0，1）時，g（x）＞0，此時f′（x）＜0，函數f（x）單調遞減；（10分） x∈(1，

1

a

-1)時，g（x）＜0，此時f'（x）＞0，函數f（x）單調遞增；（11分） x∈(

1

a

-1，+∞)時，，此時，函數f（x）單調遞減．（12分）
綜上所述：當a=0時，函數f（x）在（0，1）上單調遞減，在（1，+∞）上單調遞增；
當 0＜a＜

1

2

時，函數f（x）在（0，1）上單調遞減，在 (1，

1

a

-1)上單調遞增；
在 (

1

a

-1，  +∞)上單調遞減．（13分）

點評：本小題主要考查直線的斜率、導數的幾何意義、利用導數研究曲線上某點切線方程等知識，解答的關鍵是導函數的正負與原函數的單調性之間的關系，即當導函數大于0時原函數單調遞增，當導函數小于0時原函數單調遞減．