Question

已知函數是定義在R上的奇函數，且，在[0，2]上是增函數，則下列結論：①若，則；②若
且③若方程在[-8，8]內恰有四個不同的角，則，其中正確的有  （   ）

A．0個

B．1個

C．2個

D．3個

Answer 1

D

解：由f（x+4）=-f（x）可得f（x+8）=f（x），此函數是以8為周期的周期函數，
又f（x）是奇函數，且在[0，2]上為增函數
∴f（x）在[-2，0]上也是增函數
當x∈[2，4]時，x-4∈[-2，0]，且由已知可得f（x-4）=-f（x），則可得函數f（x）在[2，4]上單調遞減，根據奇函數的對稱性可知，f（x）在[-4，-2]上也是單調遞減
①若0＜x₁＜x₂＜4，且x₁+x₂=4，則0＜x₁＜4-x₁＜4，即0＜x₁＜2，-2＜x₁-4＜0
由f（x）在[0，2]上是增函數可得f（x）在[-2，0]上也是增函數，則f（x₁）＞f（x₁-4）=f（-x₂）=-f（x₂），則f（x₁）+f（x₂）＞0；故①正確
②若0＜x₁＜x₂＜4，且x₁+x₂=5，則0＜x₁＜5-x₁＜4，即1＜x₁＜5/2，f（x）在[0，2]上是增函數，由圖可知：f（x₁）＞f（x₂）；故②正確；
③四個交點中兩個交點的橫坐標之和為2×（-6），另兩個交點的橫坐標之和為2×2，此時x₁+x₂+x₃+x₄=-12+4=-8，故③正確；
故答案為①②③