Question

已知等差數列{a_n}的前n項和S_n,且對于任意的正整數n滿足=a_n+1.
(1)求數列{a_n}的通項公式;
(2)設b_n=,求數列{b_n}的前n項和B_n.

Answer 1

(1)數列{a_n}是首項為1公差為2的等差數列.
∴a_n=1+(n-1)×2=2n-1.
(2) b_n==(-).
∴B_n==(1-).

(1)∵對于任意的正整數n,=a_n+1①恒成立,
當n=1時,=a₁+1,即(-1)²=0,
∴a₁=1.
當n≥2時,有=a_n-1+1②,
①²-②²得4a_n=+2a_n-2a_n-1,
即(a_n+a_n-1)(a_n-a_n-1-2)=0.
∵a_n＞0,∴a_n+a_n-1＞0.
∴a_n-a_n-1=2.
∴數列{a_n}是首項為1公差為2的等差數列.
∴a_n=1+(n-1)×2=2n-1.
(2)∵a_n=2n-1,
∴b_n==(-).
∴B_n=b₁+b₂+…+b_n
=［(1-)+(-)+…+(-)］
=(1-).