Question

已知函數f(x)=4x+

1

x

．
（1）求函數y=f（x）-4的零點；
（2）證明函數f（x）在區間(

1

2

，+∞)上為增函數．

Answer 1

分析：（1）求函數零點轉化為函數圖象與x交點的橫坐標，即f（x）-4=0，得4x+

1

x

-4=0，故可解；
（2）利用單調性的定義進行證明：設x₁，x₂是區間(

1

2

，+∞)上的任意兩個實數，且x₁＞x₂，推證f（x₁）＞f（x₂），即可．

解答：解（1）因為f(x)-4=4x+

1

x

-4，令f（x）-4=0，得4x+

1

x

-4=0，
即4x²-4x+1=0，解得x=

1

2

．
所以函數y=f（x）-4的零點是

1

2

．
（2）設x₁，x₂是區間(

1

2

，+∞)上的任意兩個實數，且x₁＞x₂，
則f(x1)-f(x2)=4x1+

1

x1

-(4x2+

1

x2

)=4(x1-x2)

x1x2- 1 4

x1x2

，
由x1＞x2＞

1

2

，得x1x2＞

1

4

，
又由x₁＞x₂，得x₁-x₂＞0，所以4(x1-x2)

x1x2- 1 4

x1x2

＞0，
于是f（x₁）＞f（x₂），
所以函數f（x）在區間(

1

2

，+∞)上為增函數．

點評：本題綜合函數零點、函數的單調性，應注意理解函數零點的含義，掌握單調性證明的步驟．