Question

在正方體中，如圖Ｅ、Ｆ分別是 ，CD的中點，
（1）求證：；
（2）求.

Answer 1

(1)證明見解析;(2).

解析試題分析：(1)利用已知的線面垂直關系建立空間直角坐標系，準確寫出相關點的坐標，從而將幾何證明轉化為向量運算.其中靈活建系是解題的關鍵.(2)證明證線線垂直，只需要證明直線的方向向量垂直；（3)把向量夾角的余弦值轉化為兩平面法向量夾角的余弦值;(4）空間向量將空間位置關系轉化為向量運算，應用的核心是要充分認識形體特征，建立恰當的坐標系，實施幾何問題代數化.同時注意兩點：一是正確寫出點、向量的坐標，準確運算；二是空間位置關系中判定定理與性質定理條件要完備.
試題解析：解：建立如圖所示的直角坐標系，（1）不妨設正方體的棱長為1，

則D（0，0，0），A（1，0，0），（0，0，1），
E（1，1，），F（0，，0），
則＝（0，，－1），＝（1，0，0），   
＝（0，1，）， 
＝0，.
（２）（1，1，1），C（0，1，0），故＝（1，0，1），＝（－1，－，－），
＝－1＋0－＝－，  
，，    
則cos.
.     
考點：利用空間向量證明線線垂直和求夾角.