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已知函數f（x）=aln（x+1）-x2，若在區間（0，1）內任取兩個不同實數m，n，不等式
f(m+1)-f(n+1)
m-n
＜1恒成立，則實數a的取值范圍是______．
由于
f(m+1)-f(n+1)
m-n
=
f(m+1)-f(n+1)
(m+1)-(n+1)
，則表示點（m+1，f（m+1）） 與點（n+1，f（n+1））連線的斜率，因實數p，q在區間（0，1）內，故m+1和n+1在區間（1，2）內．
∵不等式
f(m+1)-f(n+1)
m-n
=
f(m+1)-f(n+1)
(m+1)-(n+1)
，恒成立，
∴函數圖象上在區間（1，2）內任意兩點連線的斜率小于1，
故函數的導數小1在（1，2）內恒成立．
由函數的定義域知，x＞-1，
∴f′（x）=
a
x+1
-2x＜1 在（1，2）內恒成立．
即 a＜2x2+3x+1在（1，2）內恒成立．
由于二次函數y=2x2+3x+1在[1，2]上是單調增函數，
故 x=1時，y=2x2+3x+1 在[1，2]上取最小值為6，
∴a≤6，
故答案為：a≤6．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源：不詳 題型：填空題

已知為非零實數，若函數的圖象關于原點中心對稱，則       

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：填空題

已知奇函數f（x）和偶函數g（x）的定義域都是（-∞，0）∪（0，+∞），且當x＜0時，f’（x）g（x）+f（x）g’（x）＞0．若g（-2）=0，則不等式f（x）g（x）＞0的解集是______．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：單選題

定義在R上的奇函數f（x）滿足：f（x+1）=f（x-1），且當0≤x≤1時，f（x）=-8x2+8x，則f(-
2013
2
)=（　�。�
A．2B．-1C．-2D．1

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：單選題

如果一個函數f（x）滿足：
（1）定義域為R；
（2）任意x1，x2∈R，若x1+x2=0，則f（x1）+f（x2）=0；
（3）任意x∈R，若t＞0，f（x+t）＞f（x）．
則f（x）可以是（　�。�
A．y=-xB．y=3xC．y=x3D．y=log3x

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

已知函數f（x）=a-
2
2x+1

（1）若f（x）為奇函數，求實數a的值；
（2）判斷并證明f（x）的單調性．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：單選題

下面有四個結論：
①偶函數的圖象一定與y軸相交．
②奇函數的圖象不一定過原點．
③偶函數若在（0，+∞）上是減函數，則在（-∞，0）上一定是增函數．
④有且只有一個函數既是奇函數又是偶函數．
其中正確結論的個數是（　�。�
A．1B．2C．3D．4

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：填空題

定義在R上的偶函數y=f（x）在[0，+∞）上單調遞減，函數f（x）的一個零點為
1
2
，則不等式f（log4x）＜0的解集是______．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：單選題

已知函數y=f（x）+x是偶函數，且f（2）=1，則f（-2）=（　　）
A．-1B．1C．-5D．5

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