Question

設雙曲線C的中心在原點，焦點在x軸上，離心率為2，其一個頂點的坐標是(

1

3

，0)；又直線l：y=kx+1與雙曲線C相交于不同的A、B兩點．
（Ⅰ）求雙曲線C的標準方程；
（Ⅱ）是否存在實數k，使得以線段AB為直徑的圓過坐標的原點？若存在，求出k的值；若不存在，寫出理由．

Answer 1

（Ⅰ）∵雙曲線C的中心在原點，焦點在x軸上，
離心率為2，其一個頂點的坐標是(

1

3

，0)，
∴設雙曲線方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1，
∴

c a =2 a= 1 3

，解得a=

3

3

，c=

2 3

3

，
b²=（

2 3

3

）²-（

3

3

）²=1，
∴雙曲線C的標準方程為3x²-y²=1．
（Ⅱ）假設存在實數k，使得以線段AB為直徑的圓過坐標的原點．
將直線l的方程y=kx+1代入雙曲線C的方程3x²-y²=1后，
整理得（k²-3）x²+2kx+2=0，…①
依題意，直線l與雙曲線C交于不同兩點，
∴

k2-3≠0 △=(2k)2-8(k2-3)＞0

，
解得k的取值范圍是-

6

＜k＜

6

，
設A、B兩點的坐標分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），
則由①式得

x1+x2= 2k 3-k2 x1x2= 2 k2-3

，…②
y₁y₂=（kx₁+1）（kx₂+1）
=k²x₁x₂+k（x₁+x₂）+1，
假設存在實數k，使得以線段AB為直徑的圓經過坐標原點（0，0），
則由FA⊥FB得：x₁x₂+y₁y₂=0，…③
把②式代入③式得：（1+k²）x₁x₂+k（x₁+x₂）+1=0
∴（1+k²）•

2

k2-3

+

2k2

3-k2

+1=0，
解得k=-1，或k=1，
∴1和-1都在（-

6

，

6

）內，
∴存在實數k=±1，使得以AB為直徑的圓經過坐標原點．