Question

記[x]為不超過實數x的最大整數．例如，[2]＝2，[1.5]＝1，[－0.3]＝－1.設a為正整數，數列{x_n}滿足x₁＝a，x_n＋1＝ (n∈N^*)．現有下列命題：
①當a＝5時，數列{x_n}的前3項依次為5,3,1；
②對數列{x_n}都存在正整數k，當n≥k時總有x_n＝x_k；
③當n≥1時，x_n＞－1；
④對某個正整數k，若x_k＋1≥x_k，則x_k＝[]．
其中的真命題有________．(寫出所有真命題的編號)

Answer 1

③④

當a＝5時，x₂＝＝3，
x₃＝＝2.①錯；令a＝3，
x₂＝＝2，x₃＝＝1，
x₄＝＝2，以后各項均為1,2交替出現，②錯；易證x∈N^*時，≥，所以x_n＋1＝≥＞≥－1，③正確；因為
x_n＋1＝≤≤，所以≥x_k，x_k≤，所以x_k≤，又由③知x_k＞－1，有－1＜x_k≤，又x_k∈N^*，因此x_k＝[]，④正確