Question

根據下列條件求橢圓或雙曲線的標準方程．
（Ⅰ）已知橢圓的長軸長為6，一個焦點為（2，0），求該橢圓的標準方程．
（Ⅱ）已知雙曲線過點P(

5

，

1

2

)，漸近線方程為x±2y=0，且焦點在x軸上，求該雙曲線的標準方程．

Answer 1

分析：（I）設出橢圓的標準方程，可得2a=6且c=2，由平方關系算出b²=5，從而得到所示橢圓的方程；
（II）根據雙曲線的漸近線方程，設雙曲線方程為x²-4y²=λ（λ≠0），將點P(

5

，

1

2

)代入求出λ的值，將λ代入所設的雙曲線方程，再化簡即得該雙曲線的標準方程．

解答：解：（I）設橢圓的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），則
∵橢圓的長軸長為6，一個焦點為（2，0），
∴2a=6，c=2，可得a=3，b²=

a2-c2

=5
因此，橢圓的方程為

x2

9

+

y2

5

=1；
（II）∵雙曲線漸近線方程為x±2y=0，
∴設雙曲線方程為x²-4y²=λ（λ≠0）
∵點P(

5

，

1

2

)在雙曲線上，∴(

5

)2-4×(

1

2

)2=λ，可得λ=4
因此，雙曲線方程為x²-4y²=4，化成標準方程為

x2

4

-y2=1．
即所求雙曲線方程為

x2

4

-y2=1．

點評：本題給出橢圓、雙曲線滿足的條件，求它們的標準方程，著重考查了橢圓、雙曲線的標準方程和簡單幾何性質等知識，屬于基礎題．