Question

根據下列條件求橢圓或雙曲線的標準方程．
（Ⅰ）已知橢圓的長軸長為6，一個焦點為（2，0），求該橢圓的標準方程．
（Ⅱ）已知雙曲線過點，漸近線方程為x±2y=0，且焦點在x軸上，求該雙曲線的標準方程．

Answer 1

【答案】分析：（I）設出橢圓的標準方程，可得2a=6且c=2，由平方關系算出b²=5，從而得到所示橢圓的方程；
（II）根據雙曲線的漸近線方程，設雙曲線方程為x²-4y²=λ（λ≠0），將點代入求出λ的值，將λ代入所設的雙曲線方程，再化簡即得該雙曲線的標準方程．
解答：解：（I）設橢圓的方程為（a＞b＞0），則
∵橢圓的長軸長為6，一個焦點為（2，0），
∴2a=6，c=2，可得a=3，b²==5
因此，橢圓的方程為；
（II）∵雙曲線漸近線方程為x±2y=0，
∴設雙曲線方程為x²-4y²=λ（λ≠0）
∵點在雙曲線上，∴，可得λ=4
因此，雙曲線方程為x²-4y²=4，化成標準方程為．
即所求雙曲線方程為．
點評：本題給出橢圓、雙曲線滿足的條件，求它們的標準方程，著重考查了橢圓、雙曲線的標準方程和簡單幾何性質等知識，屬于基礎題．