已知
．
（1）若
存在單調遞減區間，求實數
的取值范圍；
（2）若
,求證：當
時，
恒成立；
（3）利用（2）的結論證明：若
，則
.
（1）
；（2）證明過程詳見試題解析；（3）證明過程詳見試題解析.
解析試題分析：（1）當
時，
∴
. ∵ 
有單調減區間，∴
有解.分
兩種情況討論
有解.可得到的取值范圍是
；（2）此問就是要證明函數
在上的最大值小于或等于
，經過求導討論單調性得出當
時，
有最大值，命題得證；（3）利用（2）的結論
，將此問的不等關系
，轉化成與（2）對應的函數關系進行證明.
試題解析：（1）當時，
∴.
∵ 有單調減區間，∴有解，即
∵ 
，∴ 有解.
（ⅰ）當
時符合題意；
（ⅱ）當
時，△
，即
。
∴的取值范圍是.
（2）證明：當
時，設，
∴ 
.
∵
，
討論
的正負得下表：
∴當時有最大值0.
即
恒成立.
∴當時，恒成立.
（3）證明：∵
，
∴
由（2）有
∴.
考點：函數與導數；不等式綜合.
名師金手指領銜課時系列答案科目：高中數學 來源： 題型：解答題
設a為實數，函數f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R.
(1)求f(x)的單調區間及極值；
(2)求證：當a>ln2－1且x >0時，ex>x2－2ax＋1
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知函數f(x)＝
＋a，g(x)＝aln x－x(a≠0)．
(1)求函數f(x)的單調區間；
(2)求證：當a>0時，對于任意x1，x2∈
，總有g(x1)<f(x2)成立．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知a∈R，函數f(x)＝
＋ln x－1.
(1)當a＝1時，求曲線y＝f(x)在點(2，f(2))處的切線方程；
(2)求f(x)在區間(0，e]上的最小值．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
設函數f(x)＝ln x＋
x2－(a＋1)x(a>0，a為常數)．
(1)討論f(x)的單調性；
(2)若a＝1，證明：當x>1時，f(x)< 
x2－
－
.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知函數f(x)＝x2＋2ax＋1(a∈R)，f′(x)是f(x)的導函數．
(1)若x∈[－2，－1]，不等式f(x)≤f′(x)恒成立，求a的取值范圍；
(2)解關于x的方程f(x)＝|f′(x)|； ?
(3)設函數g(x)＝
，求g(x)在x∈[2,4]時的最小值．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知向量m＝(ex，ln x＋k)，n＝(1，f(x)]，m∥n(k為常數)，曲線y＝f(x)在點(1，f(1))處的切線與y軸垂直，F(x)＝xexf′(x)．
(1)求k的值及F(x)的單調區間；
(2)已知函數g(x)＝－x2＋2ax(a為正實數)，若對于任意x2∈[0,1]，總存在x1∈(0，＋∞)，使得g(x2)<F(x1)，求實數a的取值范圍．
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.
時，求
的極值；
時，討論
，
，恒有
成立，求實數
的取值范圍.