Question

已知橢圓方程為，過右焦點斜率為1的直線到原點的距離為.

(1)求橢圓方程.

(2)已知為橢圓的左右兩個頂點，為橢圓在第一象限內的一點，為過點且垂直軸的直線，點為直線與直線的交點，點為以為直徑的圓與直線的一個交點，求證：三點共線.

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）詳見解析.

【解析】

試題分析：(1)由過右焦點斜率為1的直線到原點的距離為可以得到右焦點坐標，即的值.再由公式可得橢圓方程.此處注意因為是右焦點，即焦點在軸上，從而得到對應的分母1即為；（2）由點坐標設出直線的點斜式方程，聯立橢圓方程求出的坐標.易知直線的方程，所以易求得點坐標，由圓的性質知，則只要就有直線、重合，即三點共線.因為點的坐標已求得，可通過向量數量積予以證明.注意本題如選擇求點坐標則將較為繁瑣，增加了解題的計算量，這里合理利用圓的直徑對應的圓周角是直角這一性質，簡化了運算.

試題解析：（1）設右焦點為，則過右焦點斜率為1的直線方程為：    1分

則原點到直線的距離                         3分

方程                                                    4分

（2）點坐標為                                              5分

設直線方程為：，設點坐標為

得：                     6分

       7分    9分

    10分

由圓的性質得：

又點的橫坐標為    點的坐標為    11分

     11分           13分

即，又三點共線                14分 

考點：1.直線與圓錐曲線的位置關系；2.直線的方程；3.平面向量的應用.