Question

已知函數f(x)=a(x-

1

x

)-2lnx (a∈R)．
（1）若a=2，求曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
（2）求函數f（x）的單調區間．

Answer 1

分析：（1）將a=2代入，對函數f（x）進行求導得到切線的斜率k=f′（1），切點為（1，f（1）），根據點斜式即可寫出切線方程；
（2）由題意知先求函數f（x）的定義域，再由（1）得出的導數，設h（x）=ax²-2x+．下面對a進行分類討論：①當a≤0時，②當若0＜a＜1時，③當a≥1時，由此可知f（x）的單調增區間和單調遞減區間．

解答：解：f′（x）=a（1+

1

x2

）-

2

x

=

ax2-2x+a

x2

，…（1分）
令h（x）=ax²-2x+a．
（1）當a=2時，函數f(x)=2(x-

1

x

)-2lnx，
f（1）=0，f′（x）=2（1+

1

x2

）-

2

x

．
曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線的斜率為f′（1）=2．  …（2分）
從而曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為y-0=2（x-1），
即2x-y-2=0．       …（4分）
（2）函數f（x）的定義域為（0，+∞）． 設h（x）=ax²-2x+a，
（a）當a≤0時，h（x）=ax²-2x+a＜0在（0，+∞）上恒成立，
則f′（x）＜0在（0，+∞）上恒成立，此時f（x）在（0，+∞）上單調遞減．…（6分）
（b）當a＞0時，△=4-4a²，
（ⅰ）若0＜a＜1，
由f′（x）＞0，即h（x）＞0，得
0＜x＜

1- 1-a2

a

或x＞

1+ 1-a2

a

；…（8分）
由f′（x）＜0，即h（x）＜0，得

1- 1-a2

a

＜x＜

1+ 1-a2

a

．…（9分）
所以函數f（x）的單調遞增區間為（0，

1- 1-a2

a

）和（

1+ 1-a2

a

，+∞），
單調遞減區間為（

1- 1-a2

a

，

1+ 1-a2

a

）．   …（11分）
（ⅱ）若a≥1，h（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，
則f′（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，此時f（x） 在（0，+∞）上單調遞增． …（13分）

點評：本題主要考查函數導數的幾何意義和函數的單調性與其導函數的正負之間的關系．當導函數大于0時原函數單調遞增，當導函數小于0時原函數單調遞減，考查運算能力，屬中檔題．