Question

已知函數f(x)=

1

3

x3-

1

2

(2a+1)x2+(a2+a)x．
（1）若函數h(x)=

f′(x)

x

為奇函數，求a的值；
（2）若?m∈R，直線y=kx+m都不是曲線y=f（x）的切線，求k的取值范圍；
（3）若a＞-1，求f（x）在區間[0，1]上的最大值．

Answer 1

分析：（1）求函數f'（x），利用h（x）是奇函數，建立方程關系進行求解．
（2）將條件直線y=kx+m都不是曲線y=f（x）的切線，轉化為k不在導函數值域范圍內．
（3）利用導數求f（x）在區間[0，1]上的最大值．

解答：解：（1）∵f'（x）=x²-（2a+1）x+（a²+a），
∴h(x)=

x2-(2a+1)x+(a2+a)

x

，
∵h（x）為奇函數，
∴f'（x）=x²-（2a+1）x+（a²+a）為偶函數，
即2a+1=0，
解得a=-

1

2

．
（2）若?m∈R，直線y=kx+m都不是曲線y=f（x）的切線，
即k不在導函數值域范圍內．
∵f′(x)=(x-

2a+1

2

)2-

1

4

，
∴f′(x)=(x-

2a+1

2

)2-

1

4

≠k對x∈R成立，
只要f'（x）的最小值大于k即可，
∴k的范圍為k＜-

1

4

．
（3）∵a＞-1，
∴a+1＞0，
當a≥1時，f'（x）≥0對x∈[0，1]成立，
∴當x=1時，f（x）取得最大值f(1)=a2-

1

6

；
當0＜a＜1時，在x∈（0，a），f'（x）＞0，f（x）單調遞增，
在x∈（a，1）時，f'（x）＜0，f（x）單調遞減，
∴當x=a時，f（x）取得最大值f(a)=

1

3

a3+

1

2

a2；
當a=0時，在x∈（0，1），f'（x）＜0，f（x）單調遞減，
∴當x=0時，f（x）取得最大值f（0）=0；
當-1＜a＜0時，在x∈（0，a+1），f'（x）＜0，f（x）單調遞減，
在x∈（a+1，1），f'（x）＞0，f（x）單調遞增，
又f（0）=0，f(1)=a2-

1

6

，
當-1＜a＜-

6

6

時，f（x）在x=1取得最大值f(1)=a2-

1

6

；
當-

6

6

＜a＜0時，f（x）在x=0取得最大值f（0）=0；
當a=-

6

6

時，f（x）在x=0，x=1處都取得最大值0．
綜上所述，當a≥1或-1＜a＜-

6

6

時，f（x）在x=1取得最大值f(1)=a2-

1

6

；
當0＜a＜1時，f（x）取得最大值f(a)=

1

3

a3+

1

2

a2；
當a=-

6

6

時，f（x）在x=0，x=1處都取得最大值0；
當-

6

6

＜a≤0時，f（x）在x=0取得最大值f（0）=0．

點評：本題主要考查函數奇偶性的應用，以及利用導數研究函數的性質，要求熟練掌握導數在研究函數中的應用，綜合性較強，運算量較大．