Question

（07年江西卷理）（12分）

右圖是一個直三棱柱（以為底面）被一平面所截得到的幾何體，截面為．已知，，，，．

（1）設點是的中點，證明：平面；

（2）求二面角的大小；

（3）求此幾何體的體積．

Answer 1

解析：解法一：

（1）證明：作交于，連．

則．

因為是的中點，

所以．

則是平行四邊形，因此有．

平面且平面，

則面．

（2）如圖，

過作截面面，分別交，于，．

作于，連．

因為面，所以，則平面．

又因為，，．

所以，根據三垂線定理知，所以就是所求二面角的平面角．

因為，所以，故，

即：所求二面角的大小為．

（3）因為，所以

．

．

所求幾何體體積為

．

解法二：

（1）如圖，以為原點建立空間直角坐標系，

 

則，，，因為是的中點，所以，

．

易知，是平面的一個法向量．

因為，平面，所以平面．

（2），，

設是平面的一個法向量，則

則，得：

取，．

顯然，為平面的一個法向量．

則，結合圖形可知所求二面角為銳角．

所以二面角的大小是．

（3）同解法一．