Question

已知函數，；
（1）求在處的切線方程；
（2）若有唯一解，求的取值范圍；
（3）是否存在實數，使得與在上均為增函數，若存在求出的范圍，若不存在請說明理由

Answer 1

（1）（2）或    （3）不存在實數 

本試題主要考查了導數的概念和導數的運算，以及導數的幾何意義的運用，并利用導數研究函數的單調性和函數的零點問題的綜合運用試題。
（1）先求解導數，利用點斜式寫出切線方程。
（2）原方程等價于，令
則函數與在軸右側有唯一交點。轉化為圖像與圖像的交點來處理。
（3）分別分析函數的單調區間，然后結合結論，判定都是單調增函數時的參數的取值范圍
解：（1）； ……………3分
（2）原方程等價于，令
則函數與在軸右側有唯一交點。

當或時 ，當時
在上單調遞減，在上單調遞增。
時有極小值，時有極大值
當有唯一解時或     ……………8分
（3），
當時 ，當時
在上單調遞減，在上單調遞增。
在上單調遞減，在上單調遞增。
與在上單調遞增， 使得與在上均為增函數則滿足，不等式組無解，故不存在實數