Question

已知函數，（）.
（Ⅰ）已知函數的零點至少有一個在原點右側，求實數的范圍.
（Ⅱ）記函數的圖象為曲線.設點,是曲線上的不同兩點.如果在曲線上存在點，使得：①；②曲線在點處的切線平行于直線，則稱函數存在“中值相依切線”.
試問：函數（且）是否存在“中值相依切線”，請說明理由.

Answer 1

（Ⅰ）（Ⅱ）函數不存在“中值相依切線”，理由見解析。

解：(Ⅰ)(1)當時，，直線與軸的交點為，即函數的零點為0，不在原點右側，不滿足條件.     (1分)
(2)當時，，拋物線的頂點為，即函數的零點為0，不在原點右側，不滿足條件.           (2分)
（3）當時，，拋物線開口向上且過原點，對稱軸，所以拋物線與軸的另一交點在對稱軸的左側，故函數的零點不在原點右側，不滿足條件.       (3分)
（4）當時，，拋物線開口向上且過原點，對稱軸，所以拋物線與軸的另一交點在對稱軸的右側，故函數有一個零點在原點右側，滿足條件.          (4分)
（5）當時，，拋物線開口向下且過原點，對稱軸，所以拋物線與軸的另一交點在對稱軸的右側，故函數有一個零點在原點右側，滿足條件.                        (5分)
綜上可得，實數的取值范圍是.           (6分)
(Ⅱ)假設函數存在“中值相依切線”.
設,是曲線上的不同兩點，且，
則，.

          （8分）
曲線在點處的切線斜率
，       （9分）
依題意得：.
化簡可得： ， 即=.    （11分）
設 ()，上式化為：, 即.   （12分）
令,.
因為,顯然，所以在上遞增,顯然有恒成立.
所以在內不存在,使得成立.
綜上所述，假設不成立.所以，函數不存在“中值相依切線”.            （14分）